4.2 ALGEBRA BOOLEANA

4.2 ALGEBRA DE BOOLE

El Algebra de Boole es toda clase o los conjuntos de elementos que puedan tomar dos valores que sean perfectamente diferenciados, vamos a designar los valores 0 y 1 los cuales están relacionados por dos operaciones binarias las cuales son la suma y producto (+) (*).
Deben cumplir las siguientes propiedades.

A) Operaciones Conmutativas: es decir si el elemento a y el elemento b son elementos algebraicos, se verifica:
A + B = B+A ---------------- A*B = B*A

B) Dentro de la Algebra existen elementos que son neutros por ejemplo el cero 0 y el uno 1, que cumplen con la propiedad denominada identidad con respecto a cada una de dichas operaciones:

0 + A = A --------------- 1*A = A

C) Si cada operación es distributiva con respecto a la otra:
A* (B*C)= A*B+A*C ------------- A + (B * C)= (A + B) * (A + C)

D) Si para cada elemento A del algebra existe un elemento denominado a, tal como:
a + a =1 --------------------- A*A = 0.

Este postulado define una nueva operación fundamental la cual es la inversión o complementación de una variable. La tabla de verdad de la inversión o complemento es:

Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de la expresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor, paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto el operador lógico AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores con la misma procedencia están adyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. El operador lógico NOT es asociativo por la derecha.

Utilizaremos además los siguientes postulados:

1.- El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT

2.- El elemento de identidad con respecto a · es uno y con respecto a + es cero. No existe elemento de identidad para el operador NOT

3.- Los operadores · y + son conmutativos.

4.-. y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C) y A+ (B·C) = (A+B) (A+C).

5.- Para cada valor A existe un valor A’ tal que A·A’ = 0 y A+A’ = 1. Éste valor es el complemento lógico de A.

6.- · y + son ambos asociativos, esto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).

Además es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes de los cuales podemos mencionar los siguientes:
Teorema 1: A + A = A
Teorema 2: A · A = A
Teorema 3: A + 0 = A
Teorema 4: A · 1 = A
Teorema 5: A · 0 = 0
Teorema 6: A + 1 = 1
Teorema 7: (A + B)’ = A’ · B’
Teorema 8: (A · B)’ = A’ + B’
Teorema 9: A + A · B = A
Teorema 10: A · (A + B) = A
Teorema 11: A + A’B = A + B
Teorema 12: A’ · (A + B’) = A’B’
Teorema 13: AB + AB’ = A
Teorema 14: (A’ + B’) · (A’ + B) = A’
Teorema 15: A + A’ = 1
Teorema 16: A · A’ = 0